高中数学趣味逻辑题(3)
2024-10-13作文 来源:图文百科
1周。建小地牢。
1 5 12 1=19。
11、取球游戏
箱子里有13个白球15个黑球，箱子外有28个黑球，现在要求：一次性随机在箱子里抓两个球，如果1白1黑，就把白球放回去，拿出黑球；如果是同色，就把两个球都拿出来，再从外面的黑球放一个进去。如此反复做，最后一个剩下的球是什么颜色的？
答案：从箱子中抓两个球会出现三种情况。
①抓出两个白球，这时箱子里白球数量会少2个，黑球的数量会多1个；
②抓出两个黑球，这时箱子里白球的数量不变，黑球的数量会减少一个；
③抓出的是一黑一白，这时箱子里的白球数量不变，黑球的数量会减少一个。
通过三种情况的分析，每抓一次，箱子里球的总量会减少一个，黑球的数量增加或减少一个，白球的数量减少两个或不变。由于箱子里白球的数量是奇数个，而每次抓取后白球数量的变化均为偶数（包括0），所以白球不可能拿完。故最后剩下的一定是白球。
12、加油方案
最近，由于燃油的价格有升有降，设有一个人每天都会从A地去B地，现有两种加油方案。（这是一道非常正规的数学题。注意：“每天”。所以可能不止加一次油）
第一种方案，每次加30升的燃油
第二种方案，每次加200元的燃油
请问使用哪种方案更划算？
答案：题目中说，每天都要从a地到b地，由此可得加油不止一次。（注意：每天）
由高中所学均值不等式得：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次油价为n元/升。第一种方案的均价为(30 m 30 n)÷60=(m n)÷2>=根号下mn(当且仅当m=n时，等号成立);第二种方案的均价为400÷(https://s_bk.ssjz8.com/upload/200/m 200/n)=2 mn÷(m n)<=根号下mn(当且，仅当m=n时，等号成立)。所以无论油价如何变化，第二种方案更划算，故选第二种方案。
注：如果只加一次油，两种方案所用的钱平均下来是一样的，但因为油有升有降，多次加油后，第二种方案所用的钱平均下来大于等于第一种方案所用的钱，所以不考虑其他，只选第二种方案可以最大程度的划算。
13、死刑概率
三个囚犯甲乙丙被关在牢房里，他们中有一个人被判了死刑，但没有公布。
囚犯甲问看守，自己被判了死刑吗？看守表示不能透露，不过可以告诉甲，另外两个人里，乙没有被判死刑。
甲听完变得很沮丧，他说：“原本我有1/3的几率死刑，现在乙被排除了，我变成1/2的几率死刑了。”
看守对他嗤之以鼻，说：“别傻了，你被判死刑的概率没变。”
请问，得知看守的话后，甲的死亡几率究竟是多少呢？
答案：看守说得对，甲的死亡概率还是https://s_bk.ssjz8.com/upload/1/3. 我将用通俗和严谨的两种方式来说明。
通俗解释：
首先需要注意，“乙不会死”与“乙丙二人中乙不会死”两个事件是不同的。所以看守说乙不会死，并不意味着现在甲丙平分死亡几率、各占1/2，甲的推理是错误的。
事实上，乙丙之中有一个人不会死，这是一个必然事件，无论不会死的人是乙还是丙，都不会为甲的死亡与否提供信息，所以也不会影响甲的死亡概率。甲的死亡概率在得知看守的话后仍是1/3.
14、严谨证明：
设A表示事件甲会死亡，B表示乙死亡，C表示丙死亡，W表示事件“乙丙之中看守透露乙不会死”。
事件W可以分解为W=AW (非A)W，其中事件AW表示“甲会死，且乙丙之中看守透露乙不会死”，(非A)W表示“甲不会死，且乙丙之中看守透露乙不会死”。
现在来计算各事件发生的概率P：
P(AW)=1/3*1/2=1/6 （其中1/3是甲被判死刑的概率，1/2是看守在乙丙中选择透露乙不会死）
1 5 12 1=19。
11、取球游戏
箱子里有13个白球15个黑球，箱子外有28个黑球，现在要求：一次性随机在箱子里抓两个球，如果1白1黑，就把白球放回去，拿出黑球；如果是同色，就把两个球都拿出来，再从外面的黑球放一个进去。如此反复做，最后一个剩下的球是什么颜色的？
答案：从箱子中抓两个球会出现三种情况。
①抓出两个白球，这时箱子里白球数量会少2个，黑球的数量会多1个；
②抓出两个黑球，这时箱子里白球的数量不变，黑球的数量会减少一个；
③抓出的是一黑一白，这时箱子里的白球数量不变，黑球的数量会减少一个。
通过三种情况的分析，每抓一次，箱子里球的总量会减少一个，黑球的数量增加或减少一个，白球的数量减少两个或不变。由于箱子里白球的数量是奇数个，而每次抓取后白球数量的变化均为偶数（包括0），所以白球不可能拿完。故最后剩下的一定是白球。
12、加油方案
最近，由于燃油的价格有升有降，设有一个人每天都会从A地去B地，现有两种加油方案。（这是一道非常正规的数学题。注意：“每天”。所以可能不止加一次油）
第一种方案，每次加30升的燃油
第二种方案，每次加200元的燃油
请问使用哪种方案更划算？
答案：题目中说，每天都要从a地到b地，由此可得加油不止一次。（注意：每天）
由高中所学均值不等式得：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次油价为n元/升。第一种方案的均价为(30 m 30 n)÷60=(m n)÷2>=根号下mn(当且仅当m=n时，等号成立);第二种方案的均价为400÷(https://s_bk.ssjz8.com/upload/200/m 200/n)=2 mn÷(m n)<=根号下mn(当且，仅当m=n时，等号成立)。所以无论油价如何变化，第二种方案更划算，故选第二种方案。
注：如果只加一次油，两种方案所用的钱平均下来是一样的，但因为油有升有降，多次加油后，第二种方案所用的钱平均下来大于等于第一种方案所用的钱，所以不考虑其他，只选第二种方案可以最大程度的划算。
13、死刑概率
三个囚犯甲乙丙被关在牢房里，他们中有一个人被判了死刑，但没有公布。
囚犯甲问看守，自己被判了死刑吗？看守表示不能透露，不过可以告诉甲，另外两个人里，乙没有被判死刑。
甲听完变得很沮丧，他说：“原本我有1/3的几率死刑，现在乙被排除了，我变成1/2的几率死刑了。”
看守对他嗤之以鼻，说：“别傻了，你被判死刑的概率没变。”
请问，得知看守的话后，甲的死亡几率究竟是多少呢？
答案：看守说得对，甲的死亡概率还是https://s_bk.ssjz8.com/upload/1/3. 我将用通俗和严谨的两种方式来说明。
通俗解释：
首先需要注意，“乙不会死”与“乙丙二人中乙不会死”两个事件是不同的。所以看守说乙不会死，并不意味着现在甲丙平分死亡几率、各占1/2，甲的推理是错误的。
事实上，乙丙之中有一个人不会死，这是一个必然事件，无论不会死的人是乙还是丙，都不会为甲的死亡与否提供信息，所以也不会影响甲的死亡概率。甲的死亡概率在得知看守的话后仍是1/3.
14、严谨证明：
设A表示事件甲会死亡，B表示乙死亡，C表示丙死亡，W表示事件“乙丙之中看守透露乙不会死”。
事件W可以分解为W=AW (非A)W，其中事件AW表示“甲会死，且乙丙之中看守透露乙不会死”，(非A)W表示“甲不会死，且乙丙之中看守透露乙不会死”。
现在来计算各事件发生的概率P：
P(AW)=1/3*1/2=1/6 （其中1/3是甲被判死刑的概率，1/2是看守在乙丙中选择透露乙不会死）
