趣味高中数学竞赛题(2)
6、两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？
解答： 当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。
7、最短时间过桥问题：在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时通过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1，2，5，8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，你如何设计一个方案，让用的时间最少。
解答：
（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）。
（2）1分钟的回来（或是2分钟的回来，最终效果一样，不赘述，此时共耗时3分钟）。
（3） 5分钟的和8分钟的过桥（共耗时2 1 8=11分钟）。
（4）2分钟的回来（共耗时2 1 8 2=13分钟）。
（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2 1 8 2 2=15分钟）。 此时全部过桥，共耗时15分钟。
趣味高中数学竞赛题 2
1. 阶梯问题
题目描述：
有一条长长的阶梯，如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么你最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶不剩。
问题：这条阶梯到底有多少阶？
答案：119阶
解析：
这个问题是一个经典的数学问题，涉及到同余方程和模运算。通过设立方程并求解，可以找到满足所有条件的阶梯阶数。
2. 蜡烛问题
题目描述：
桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根。
问题：最后桌子上还剩几根蜡烛？
答案：5根
解析：
这个问题看似简单，但需要注意题目中的“还剩几根蜡烛”是指的还剩几根蜡烛（包括点燃的和未点燃的），而不是还剩几根点燃的蜡烛。因此，最后桌子上还剩5根蜡烛（3根被吹灭的蜡烛和2根仍在燃烧的蜡烛）。
3. 绳子问题
题目描述：
一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？
答案：8个头
解析：
这个问题考察的是对“半根绳子”的理解。即使绳子被截断成半根，它仍然有两个头（一个起始端和一个终止端）。因此，三根半绳子共有8个头（3根完整的绳子6个头加上半根绳子的2个头）。
解答： 当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。
7、最短时间过桥问题：在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时通过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1，2，5，8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，你如何设计一个方案，让用的时间最少。
解答：
（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）。
（2）1分钟的回来（或是2分钟的回来，最终效果一样，不赘述，此时共耗时3分钟）。
（3） 5分钟的和8分钟的过桥（共耗时2 1 8=11分钟）。
（4）2分钟的回来（共耗时2 1 8 2=13分钟）。
（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2 1 8 2 2=15分钟）。 此时全部过桥，共耗时15分钟。
趣味高中数学竞赛题 2
1. 阶梯问题
题目描述：
有一条长长的阶梯，如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么你最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶不剩。
问题：这条阶梯到底有多少阶？
答案：119阶
解析：
这个问题是一个经典的数学问题，涉及到同余方程和模运算。通过设立方程并求解，可以找到满足所有条件的阶梯阶数。
2. 蜡烛问题
题目描述：
桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根。
问题：最后桌子上还剩几根蜡烛？
答案：5根
解析：
这个问题看似简单，但需要注意题目中的“还剩几根蜡烛”是指的还剩几根蜡烛（包括点燃的和未点燃的），而不是还剩几根点燃的蜡烛。因此，最后桌子上还剩5根蜡烛（3根被吹灭的蜡烛和2根仍在燃烧的蜡烛）。
3. 绳子问题
题目描述：
一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？
答案：8个头
解析：
这个问题考察的是对“半根绳子”的理解。即使绳子被截断成半根，它仍然有两个头（一个起始端和一个终止端）。因此，三根半绳子共有8个头（3根完整的绳子6个头加上半根绳子的2个头）。
